Quinta G - Matematica | 2023-2024

Introduzione all’analisi matematica

L’insieme R : richiami e complementi: massimo, minimo, estremo superiore , estremo inferiore di un insieme

Definizione di intervallo (intervalli aperti, chiusi, finiti ed illimitati e loro rappresentazione)

Definizione di intorno, intorno circolare, intorno di infinito

Funzioni reali a variabile reale e loro proprietà

Definizione di funzione reale di variabile reale

Classificazione delle funzioni

Dominio di una funzione.  Esempi e calcolo del dominio di funzioni razionali intere e fratte, irrazionali, esponenziali, logaritmiche.

Studio del segno di una funzione. Esempi e determinazione del segno di funzioni razionali intere e fratte, irrazionali, esponenziali, logaritmiche.

I grafici delle funzioni elementari e le trasformazioni

Immagine, massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di una funzione

Funzioni crescenti e decrescenti

Funzioni pari e funzioni dispari. Simmetrie

Funzione inversa 

Funzione composta

Deduzione da un grafico di dominio, codominio, immagini e contro immagini di punti dati, segno, crescenza e decrescenza, simmetrie di una funzione

I limiti di funzioni reali a variabile reale 

Introduzione al concetto di limite

Definizione di limite finito e infinito per una funzione in un punto e all'infinito e significato grafico. Limite destro e limite sinistro

Introduzione al concetto di asintoto

Teoremi sui limiti: il teorema di esistenza e unicità del limite e il teorema del confronto  (solo enunciato e significato grafico)

L’algebra dei limiti

I limiti delle funzioni elementari ( razionali intere e fratte, irrazionali, esponenziali, logaritmiche)

Limiti di somme, prodotti e quozienti di funzioni

Forme di indecisione delle funzioni algebriche (+∞-∞, 0· ∞, 0/0, ∞/∞) e loro risoluzione . Semplici esercizi di calcolo di limiti

Infiniti e loro confronto, gerarchie degli infiniti

Continuità delle funzioni

Definizione di continuità in un punto e in un intervallo

Funzioni continue

Punti di discontinuità: riconoscimento e  classificazione

Proprietà delle funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato: Teorema di esistenza degli zeri, teorema di Weierstrass (solo enunciato e significato grafico)

Gli asintoti di una funzione: verticale, orizzontale ed obliquo

Determinazione degli eventuali asintoti di una funzione razionale: limiti agli estremi del dominio

Grafico probabile di una funzione

Derivata di una funzione

Definizione di rapporto incrementale di una funzione in un suo punto e significato geometrico

Definizione di derivata di funzione in un punto e suo significato geometrico 

Derivabilità e continuità. Derivata destra e sinistra

Derivata delle funzioni elementari: la derivata di funzioni costanti, di funzioni potenza

Algebra delle derivate: linearità della derivata; la derivata del prodotto e del quoziente (solo enunciato)

Teorema di derivazione  delle funzioni composte (solo enunciato)

Classificazione e studio dei punti di non derivabilità.

Applicazione del concetto di  derivata: retta tangente in un punto ad una curva

Teoremi sulle funzioni derivabili 

Punti di massimo e di minimo assoluto e relativo di una funzione

Criterio di monotonia per le funzioni derivabili

Ricerca dei punti di estremo relativo mediante lo studio del segno della derivata (massimi e minimi relativi e assoluti) di funzioni razionali intere e fratte

Concavità e convessità

Punti di flesso,  studio del segno della derivata seconda

Studio completo di funzioni algebriche razionali intere e fratte e

costruzione del grafico